Tõenäosusteooria algus ehk kuidas valed arvutused viivad pankrotti

Tõenäosusteooria algusloo kohta on liikvel huvitav legend. Selle legendi kohaselt ei ole tõenäosusteooria aluskiviks sugugi intellektuaalne huvi, vaid hoopis kirglik hasartmäng. Nimelt hakkas paadunud ja tunnustatud hasartmängur ning amatöörmatemaatik Chevalier de Méré (1607–1684) enda loodud reeglitega järsku täringumängus pidevalt kaotama.

Probleemile lahenduse leidmiseks otsustas ta kirjutada ühele oma heale sõbrale, kuulsale prantsuse matemaatikule ja filosoofile Blaise Pascalile (1623–1662). See 17. sajandil kirjutatud murekiri panigi praeguse arusaama kohaselt aluse tõenäosusteooria arengule.

Oma kirjas kurtis Chevalier de Méré Blaise Pascalile, et täringutepaar, mis oli talle sisse toonud hulgaliselt raha, on nüüd järsku hakanud alt vedama.

Algupäraselt oli kihlvedu järgmine: Chevalier de Méré väitis, et ta suudab nelja viskega raudselt vähemalt korra kuue visata. Kirja autorile tundus loogiline, et sellise kihlveoga peaks rohkem võitma kui kaotama, ning aja jooksul saadud võidud aina süvendasid seda uskumust. Kui alguses leidus tublisti huvitunud mängijaid, kes olid oma kuueviskamisandes kindlad, ei jätkunud kihlvedusid siiski kuigi kauaks – Chevalier de Méré pidevad võidud kahandasid kiiresti nende inimeste arvu, kes mänguga soostusid.

Nii otsustas Chevalier de Méré mängureegleid muuta. Nüüd väitis ta, et suudab täringupaari viskega saada vähemalt korra topeltkuued. Ta oli veendunud, et siingi peaks kihlvedu tema kasuks olema. Ometigi hakkas aga vaene Chevalier de Méré aina kaotama…

Kuna temagi argumendid olid ta enda meelest üsna matemaatilised, läks ta oma tusatujus nii kaugele, et kuulutas matemaatika ja päriselu vahelise suhte olematuks. Nagu kohe näeme, matemaatika temaga siiski päris nõus ei ole.

Mida arvab Chevalier de Mere kihlvedudest matemaatika

Chevalier de Méré väitis, et ta suudab:

1. visata nelja täringuga vähemalt ühe kuue,
2. visata kahekümne nelja täringupaariga vähemalt korra topeltkuued.

Esimese kihlveoga oli ta rikkaks saamas, ent teisega mängis oma varanduse kärmelt maha. Chevalier de Méré oleks nende kihlvedudega raha kokku ajanud parajasti siis, kui ta oleks rohkem kui pooltel kordadel suutnud oma lubatut täita.

Kuidas oleks ta võinud ette juba aimata, kui tihti ta võidab või kaotab?

Üks võimalus oleks olnud leida täringuviskele tõenäosuslik kirjeldus. Nimelt, üks tõenäosuse tõlgendus on ju just nimelt sageduslik – tõenäosus näitab, kui tihti üks või teine sündmus meie kirjelduse kohaselt pikas perspektiivis juhtub. Rohkem kui pooltel kordadel tähendab seega, et selle sündmuse tõenäosus on suurem kui pool.

Näeme, et armas hasartmängur pidanuks rikkaks saama parajasti siis, kui tal oleks olnud täringuviskest täpne kirjeldus ning mõlema tema lubaduse tõenäosus selles kirjelduses oleks olnud poolest suurem.

Täringuviske tõenäosuslik kirjeldamine on üsna lihtne. Nii kaua kui mäng on aus (ja vaevalt et petturiga keegi täringuid viskaks!) on mõistlik eeldada, mõelda või postuleerida, et kõik täringu küljed on võrdväärsed – on võrdne võimalus, et viskel tuleb ükskõik milline külgedest. Seega on kõikide nende tõenäosus täpselt ¹⁄₆.

Esimese kihlveo korral on soodsaks sündmuseks see, et visatakse nelja viske jooksul vähemalt korra üks kuus. Selgub, et lihtsam on aga arvutada selle sündmuse vastandsündmuse tõenäosust – ehk siis sündmuse, et igal viskel visatakse üks kuni viis silma, tõenäosust. Nimelt piisab sel juhul iga viske eraldi uurimisest ja nende sidumisest sõltumatute sündmuste reegli abil.

Tõenäosus, et ühel viskel viskame üks kuni viis silma, on ⁵⁄₆. Kõik visked on aga omavahel sõltumatud ning võime nende tõenäosused kokku korrutada, leidmaks tõenäosus, et me ei viska ühtegi kuut. See on parasjagu

Kuna vastandsündmuste tõenäosuste summa on üks, siis järeldame, et vähemalt ühe kuue viskamise tõenäosus on umbes 0,518 ehk rohkem kui pool. Siit tulevad võidud!

Ka teise kihlveo korral on lihtsam välja arvutada vastandsündmuse tõenäosust – tõenäosust, et igal täringupaari viskel ei saada topeltkuut. Iga sellise viske tõenäosus on täpselt ³⁵⁄₃₆, kuna kokku on 36 võimalikku paari. Seega leiame, kasutades jällegi sõltumatute sündmuste reeglit, et mitte ühegi kuute paari viskamise tõenäosus on

See on aga rohkem kui pool! Seega on ühe 12 silmaga täringupaari viskamise tõenäosus omakorda vähem kui pool ning selge see, et härra de Méré oma rahast ilma jäi.

Matemaatika igal juhul süüdi pole!

Mille vastu Chevlier de Méré siis eksis? Selle asemel, et hoolsalt arvutada (peab tunnistama, et tol ajal ei olnud muidugi arvude 24. astme leidmine nii väga lihtne), uskus ta oma intuitsioonil põhinevat mõtteviisi. Ta arutles, et kahe kuue viskamine kahel viskel on 6 korda vähem tõenäoline kui ühe kuue viskamine ühel viskel ja et seega tuleb 6 korda rohkem viskeid teha, et seda kompenseerida. Kõlab isegi päris usutavalt?

Kas mu sõbrannast saab riigikogu liige ehk tõenäosuste määramise raskustest

 

Tore oleks vahel Toompeal teed juua. Üks võimalus selle unistuse realiseerumiseks on see, kui parimast sõbrannast saab Riigikogu liige. See ei ole sugugi kindel, aga päris võimatu ilmselt ka mitte. Kas sellele on võimalik mingi mõistlik tõenäosuslik hinnang anda?

Selle jaoks oleks meil vaja jällegi mingit tõenäosuslikku kirjeldust. Kõige lihtsam võimalik kirjeldus tegelebki ainult lõpptulemusega: meie sõber kas saab või ei saa Riigikogu liikmeks, seega on meil täpselt kaks elementi, millele tahaksime tõenäosused külge pookida. Lisaks peaks nende tõenäosuste summa olema veel üks – seega sisuliselt jääb hinnata ainult üks arv.

Kogu raskus on aga neile võimalustele tõenäosuste määramises. See ongi ju täpselt meie küsimuse ümbersõnastus! Kuidas neid tõenäosuseid määrata?

Võrdväärsuse eeldus siin kehtivat ei paista – tundub siiski tõenäolisem, et sõbrannast ei saa Riigikogu liige. Seega pool ja pool peame ilmselt välja jätma.

Ka statistika ei paista kohe kaasa aitavat: meil on ju üks konkreetne sõbranna ja temaga saame katset teha täpselt ühe korra ja see katse saab läbi alles mitmekümne aasta pärast!

Seega selgub, et meie matemaatiline mudel on liiga täpne – peame seda hajusamaks muutma, et üldse midagi öelda või ennustada.

Üks viis selle tegemiseks on sõbra unikaalsusest loobuda. Võiksime küsida hoopis: mis on tõenäosus, et mõni neiu saab Riigikogu liikmeks? Siin võiksime küll kõik Eesti naiskodanikud kokku arvata ja vaadata, paljud neist on saanud Riigikogu liikmeteks, ning hinnang olekski käes!

Aga ometi, meie sõbranna ei ole ju lihtsalt üks tavaline eestlanna. Tal on näiteks punane pea. Ehk mängib see olulist rolli, ehk peaksime ka seda arvesse võtma? Või seda, et ta on väga tark? Kuidas seda otsustada?

Ideaalis tuleks teha statistikat! Otsustada, millised omadused (juuksevärv, haridus, jalanumber jpt) mängivad rolli Riigikogusse valimisel ja millised ei mängi. Liiga palju omadusi arvesse võtta ei saa – muidu jõuaksime jälle olukorda, kus ainult meie sõbrannal ongi kõik need omadused. Samas, liiga vähe omadusi arvesse võttes oleksime liiga ebatäpsed.

Hea tõenäosusliku kirjelduse ning sinna sobivate tõenäosuste leidmine on väga raske. Mõnikord üritatakse sellest üle hüpata ja mitte täpsustada, mille kohta täpselt tõenäosuslik kirjeldus käib, või jätta teatamata, kust on tõenäosused ise võetud – on nad pärit eeldustest, on nad pärit mingitest andmetest, millistest andmetest nad pärit on.

Näiteks kui reklaam ütleb, et hambapasta tapab 99% bakteritest, siis mida see tähendab? Mis on see tõenäosuslik kirjeldus seal taustal?

Kas see tähendab, et bakterikultuuridele pandi mitmeid kordi peale hambapastat ning 99% juhtudest tapeti kõik bakterid? Milliseid baktereid sel juhul üldse kasutati, kas neid, mis on suus, või suvalisi, mis ehk kannatavad vähem fluori? Millises keskkonnas neid kasvatati? Miks see peaks üldistuma suukeskkonnale?

Või äkki mõõdeti tõesti bakterite arvu suus enne hambapesu ja pärast hambapesu ning iga kord oli pärast pesu alles 1% baktereid? Kas alati just täpselt 1% või keskmiselt 1%?

Arv 99% on ilus, aga mida ta ikkagi tähendab?

Kuigi kõigesse maksab suhtuda optimistlikult – üks korralik inimene ju niisama petuaktsiooni ei korralda –, tuleb siiski olla ettevaatlik. Niipea kui õhku tõusevad protsendid ja tõenäosused, tasub mõelda, mis on ikkagi peidus olev kirjeldus. Ja kui tahad ikka Toompeal teed juua, on Sul ilmselt vaja rohkem kui ühte sõbrannat.

 

Kes on kõrgema IQ-tasemega ehk jaotuste võrdlemine

 

Oletame, et mingil kummalisel põhjusel tahaksime omavahel võrrelda mehi ja naisi või noori ja vanu. Üldiste järelduste tegemiseks ei piisa sel juhul mõne konkreetse paari tulemuste või mõõtude võrdlemisest. Näiteks selle jaoks, et öelda, kas mehed või naised on pikemad, ei saa ju võtta lühimat meest ja pikimat naist. Tuleb ikka ühte patta panna andmeid paljude meeste kohta, teise andmeid paljude naiste kohta ning võrrelda nende padade sisusid.

Kõiki andmeid ühes pajas koondabki endas tõenäosus- või sagedusjaotus. Tihti esitatakse neid jaotuseid graafiliselt, histogrammi abil, mis näitabki, kui sagedasti üks või teine sündmus juhtus. Näiteks siin on hirmutamiseks toodud matemaatika eksamitulemuste jaotus eraldi poiste ning tüdrukute jaoks:

 

Kuna jaotuste kõrvutamisel ei võrdle me enam kahte arvu, vaid kahte pajatäit arve, pole see kõrvutamine ega selle põhjal järelduste tegemine enam sugugi nii lihtne ja ühene.

Näiteks oletame, et meil on kaks hõimu „tartlased” ja „tallinlased” ning meil on teada mõlema hõimu kõikide liikmete IQ-testi tulemus. Hõimus „tartlased” on 20% inimestest IQ 200 ning 80% IQ 80. Hõimus „tallinlased” on kõikidel võrdselt IQ 100.

Kumb hõimudest on kõrgema IQ-tasemega?

Ühelt poolt on hõimus „tartlased” keskmine IQ-tase: 0,2 · 200 + 0,8 · 80 = 104 ning hõimus „tallinlased” vaid 100. Teiselt poolt on kõik hõimu „tallinlased” liikmed kõrgema IQ-tasemega kui tervelt 80% hõimu „tartlased” liikmetest.

Selgub, et meie küsimus on liiga ebatäpne: mida me ühe hõimu kõrgema IQ-taseme all silmas pidasime? Seda, et tema keskmine IQ-tase on kõrgem? Et suurema osa tema liikmete IQ-tase on kõrgem? Et hõimu minimaalne või maksimaalne IQ-tase on kõrgem? Või et kõik need parameetrid on kõrgemad? Need on kõik erinevad küsimused ning vastused võivad olla vastukäivad.

Nii ei olegi alati võimalik kõike üheselt omavahel võrrelda ja ega vist ei maksagi seda tingimata üritada. Tallinn on tore ja Tartu ainult natuke toredam. Konkreetsel juhul oleksime ka jaotuste graafikutelt võinud näha, et lihtne keskmiste võrdlus ilmselt palju ei tähenda:

Tihti ongi kõige lihtsam jaotuseid võrrelda nende graafikute põhjal. Nii on lihtne märgata, kummas jaotuses on suuremad maksimumtulemused, kuhu umbes jääb keskmine tulemus ja nii edasi. Kohe võib ka silma jääda, et mingit mõistlikku võrdlust ei saagi teha.

 

Geomeetriline tõenäosus ehk kuidas leida tõenäosuse abil pii väärtust

 

Koolipingis räägitakse ka millestki, mille nimi on geomeetriline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus ei ole matemaatilise tõenäosuse alternatiiv, tegemist on lihtsalt veel ühe viisiga, kuidas tõenäosust tõlgendada ning mille raames ka küsimusi esitada. Ka siin üritame teatud sündmusi kirjeldada ja nende mahtu mõõta, teeme seda lihtsalt geomeetria abil.

Kahemõõtmelises maailmas põhineb geomeetriline tõenäosus pindaladel. Tõlgendame kõike võimalikku, mis juhtuda võiks, mingi piiratud tasanditükiga ning meid huvitavat sündmust mingi kujundiga selle tüki piires. Selle sündmuse tõenäosuse saaksime siis täpselt, leides meid huvitava kujundi ning kogu tasanditüki pindalade suhte.

Seda meetodit või tõlgendust ümber pöörates võiksime näiteks leida hea lähenduse π [lk 99] väärtusele. Nimelt joonistame ruudukujulisele põrandajupile mõõtmetega 1 m korda 1 m siseringjoone nii nagu joonisel näidatud.

Sel juhul on ringjoone sisse jääv pindala

ning ruudu pindala täpselt 1.

Oletame nüüd, et meil õnnestub lae alt kukutada paberitükikesi, nii et nad kukuvad selle ruudu raames enam-vähem ühtlaselt juhuslikult. Kui ruut on piisavalt väike ning lagi piisavalt kõrge, peaks see üsnagi võimalik olema.

Nüüd, ühelt poolt teame, et ringi ja ruudu pindalade suhe on

ning seega on ringjoone sisse kukkumise tõenäosus täpselt

Teisalt võime seda tõenäosust hinnata, niipea kui oleme kukutanud mõned paberilipakad. Neid piisavalt palju kukutades saame tegelikult väga hea hinnangu ka π väärtusele!

Joonisel võib seda kõike kujutada umbes nii:

Seesama protseduur ja idee on ka aluseks Monte Carlo integreerimisele [lk 349]. Sel juhul ei visata lihtsalt enam paberilipakaid, vaid juhuslikud punktid genereeritakse arvuti abil.