Avaldiste teisendamisel kehtivad ka valemid:

Algebralise avaldise, üks- ja hulkliikme mõiste:

Algebraline avaldis on avaldis, mille väärtuse leidmiseks kasutatakse lõplik arv kordi vaid nelja aritmeetika põhitehet (liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist) ning astendamist ja juurimist täisarvulise astendaja ja juurijaga.

Näiteks: 2a+4a²

Üksliikmeks nimetatakse reaalarvulise teguri ja ühe või mitme muutuja naturaalarvulise astendajaga astme korrutist.

Näiteks: -5a³b

Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saadud avaldist.

Üksliikme kordajaks nimetatakse üksliikmes esinevat reaalarvulist tegurit. Kui tegur võrdub ühega, siis jäetakse ta kirjutamata. Üksliikme kordaja märki (+ või −) nimetatakse üksliikme märgiks. Üksliikme astmeks nimetatakse temas olevate muutujate astendajate summat.

Näiteks:

−7xyz³ on viienda astme üksliige, sest muutujate astendajate summa on 1 + 1 + 3 = 5;

2a on esimese astme üksliige, sest a astendaja on 1;

Üksliige 53 on nullinda astme üksliige, sest muutujat pole, ehk muutuja astendaja on 0.

Allikas ja test:

• Algebralise avaldise

Sarnased üksliikmed, nende koondamine

Üksliikmeid nimetatakse sarnasteks, kui nad üksteisest üldse ei erine või kui nad erinevad ainult kordaja poolest.

Näiteks: Sarnased üksliikmed on 5a²bc⁴ ja (−0,2)⁷a²bc⁴ ning xy ja xy, kuid sarnased ei ole 2xy² ja 2x²y.

Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saadud avaldist nimetatakse üksliikmete algebraliseks summaks ehk hulkliikmeks. Nii on avaldis 2x² + 4xy − 0,75xyz − 12 hulkliige.

Üksliikmete koondamiseks nimetatakse sarnaste liikmete algebralise summa asendamist sellise liidetavatega sarnase üksliikmega, mille kordaja on võrdne liidetavate üksliikmete kordajate summaga.

Näide: koondades sarnased üksliikmed summas 2xy − 5xy + 6xy tuleb asendada see üksliikmega (2 − 5 + 6)xy = 3xy.

Hulkliikme koondamine tähendab antud hulkliikme esitamist kujul, milles kõik sarnased üksliikmed on koondatud.

Näide: koonda hulkliikmed:

4x² − 3x + 7 − 8x² + x − 2 = −4x² − 2x + 5

3xy² + 5x − 6xy² − 2xy + 2xy² − 5xy − z = −xy² − 7xy + 5x − z.

Allikas ja test:

• http://kodu.ut.ee/~spihlap/AjaF_I_moodul/sarnased_ksliikmed_kordamine.html

Tehted üks- ja hulkliikmetega

Järgnevalt esitatakse näiteülesanded tehetest üks- ja hulkliikmetega.

1. Hulkliikmete summa ja vahe.

(5x² − 4x + 3) − (3x² − x + 2) = avame sulud

= 5x² − 4x + 3 − 3x² + x − 2 = koondame sarnased liidetavad (samavärvilised liidame-lahutame)

= 2x² − 3x + 1

2. Üksliikme korrutamine üksliikmega.

6x³yz²⋅(−2xz²) = korrutame kordajad (arvud) omavahel, x-d omavahel, y-d omavahel ja z-d omavahel

= 6⋅(−2)⋅x³⋅x⋅y⋅z²⋅z²=

= −12x⁴yz⁴

3. Hulkliikme korrutamine üksliikmega.

a) (6x² + 2xy − 3y²) ⋅ (−2x) = korrutame esimeste sulgude iga liikme teise suluga

= (6x²) ⋅ (−2x) + (2xy) ⋅ (−2x) + (−3y²) ⋅ (−2x) = korrutame üksliikmed

= −12x³ + (−4x²y) + 6xy² = −12x³ − 4x²y + 6xy²

b) (−1) ⋅ (x⁷ + 2x − 3) = −(x⁷ + 2x − 3) = −x⁷ − 2x + 3

4. Hulkliikme korrutamine hulkliikmega.

(2x − y)(x³ + y² − 2xy) = teiste sulgude iga liikme korrutame 2x-ga ja seejärel korrutame teiste sulgude iga liikme -y-ga

=(2x)⋅(x³) + (2x)⋅(y²) + (2x)⋅(−2xy) + (−y)⋅(x³) + (−y)⋅(y²) + (−y)⋅(−2xy) = korrutame üksliikmed

=2x⁴ + 2xy² + (−4x²y) + (−x³y) + (−y³) + 2xy² = koondame sarnased liikmed (no allajoonitud), avame sulud

= 2x⁴ + 4xy² − 4x²y − x³y − y³

5. Üksliikme jagamine üksliikmega. (Tulemus ei ole alati üksliige)

6x²y⁴: (−2xy) = −3xy³ Siin jagati kordajad omavahel, x-ga liikmed omavahel, y-ga liikmed omavahel

4xy² : (−2xy³z) = −2y⁻¹z⁻¹ (ei ole üksliige, sest on negatiivne astendaja vastuses, mille tähendus on jne)

6. Hulkliikme jagamine üksliikmega.

(5x³ − 6x² + 7) : x = jagame hulkliikme iga liikme x-ga

=(5x³) : x + (−6x²) : x + 7 : x =

=5x² − 6x + 

7. Üksliikme astendamine.

(−2x²y³z)⁴ = üksliikme iga liige astendatakse neljaga

=(−2)⁴⋅(x2)⁴⋅(y3)⁴⋅z⁴ = vajadusel vaadake astendamise reegleid eestpoolt (Sarnased üksliikmed, kordamine)

= 16x⁸y¹²z⁴

8. Hulkliikme astendamine.

a) (2a − 5)³ = kuup tähendab, et tuleb astendatavat (siin siis sulge) korrutada iseendaga kolm korda

=(2a − 5)⋅(2a − 5)⋅(2a − 5) = korrutame esimesed kaks sulgu kokku

= (4a² − 10a − 10a + 25) ⋅ (2a − 5) = koondame esimeses sulus kaks keskmist liiget

(4a² − 20a + 25) ⋅ (2a − 5) = korrutame need hulkliikmed (sulud), selleks korrutame esimeste sulgude esimese liikmega teised sulud ja siis esimese sulu teise liikmega teised sulud ja lõpuks esimese sulu kolmanda liikmega teised sulud

= 8a³ − 20a² − 40a² + 100a + 50a − 125 = koondame sarnased liikmed

= 8a³ − 60a² + 150a − 125

b) (a + b + c)² = (a + b + c)⋅(a + b + c) =

= a² + ab + ac + ba + b² + bc + ca + cb+ c² =

=a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Allikas ja testid:

• Tehted_üks_ja_hulkliikmetega

Testid:

• Testid