parajasti siis, kui iga positiivse arvu R jaoks saame leida mõne naturaalarvu N nii, et iga N-ist suurema naturaalarvu n korral kehtib |a_n – A| < R.

Tegelikult oleme muidugi lihtsalt ümber sõnastanud geomeetrilise mõtte – R tähendab siin seda, kui kaugele arvust sirged tõmbasime, ning N tähistab seda hetke, millest alates kõik jada väärtused nende sirgete vahele jäävad.

Võib tekkida küsimus: miks sellist keerulist matemaatilist kirjeldust üldse vaja on? Esiteks on punktides üks ja kaks toodud intuitiivsetel kirjeldustel endiselt veel palju tõlgendamisvabadust ning seega ei sobi need hästi matemaatika tegemiseks. Teiseks teeb esialgne keeruline definitsioon pärast elu lihtsamaks. Selline lühike kirjeldus aitab kiiresti, graafikuid joonistamata, otsustada, kas jadal leidub piirväärtus ja mis ta parasjagu on.

Funktsiooni piirväärtus

Funktsiooni ƒ(x) piirväärtust kohal x₀ tähistatakse väga sarnaselt jadadega:

Piirväärtuse tõlgenduski on analoogne. Toodud kirjeldus tähendab, et kui funktsiooni argumendi x väärtus läheneb väärtusele x₀, siis funktsiooni ƒ(x) väärtus läheneb järjest väärtusele a. Vahel öeldakse ka, et funktsioon ƒ(x) koondub kohal x₀ väärtusesse a või et funktsiooni ƒ(x) piirväärtus kohal x₀ on a.

Mõnikord on funktsioni piirväärtuse leidmine päris lihtne. Näiteks ruutfunktsiooni y = x² korral on igas punktis piirväärtus võrdne funktsiooni enda väärtusega. Näiteks kohal –2 on tema piirväärtus seega 4. See tuleneb lihtsalt sellest, et ruutfunktsioon on kena pidev funktsioon – tema graafikut võib joonistada pastakat paberilt tõstmata.

 

Ent funktsiooni

piirväärtus kohal 0 puudub, sest nulli lähedal võtab funktsioon nii väga suuri positiivseid kui negatiivseid väärtusi ning jällegi ei suuda me otsustada, mida täpselt siis ikkagi piirväärtuseks valima peaks.

 

Samas funktsiooni

piirväärtus kohal 0 on lõpmatus.

Siin oleme otsustusvaevast pääsenud, mõlemal pool nulli muutub funktsiooni väärtus aina suuremaks. Matemaatika keeles võiks kirjutada:

 

Muidugi võib ka funktsioonide piirväärtuse olemasolu üle mõtiskleda veel pikemaltki.

Millal leidub funktsioonil piirväärtus?

Nagu nägime, pole seekordki sugugi selge, millistel funktsioonidel ja millistel kohtadel leidub piirväärtus. Tuleb välja, et ranged tingimused piirväärtuse leidumiseks on umbes sarnased kui jadade korral. Erinevus on vaid selles, et seekord ei vaata me järjest suuremaid jada liikmeid, vaid järjest sarnasemaid funktsiooni argumente.

Sellest on kõige lihtsam ilmselt mõelda jällegi geomeetriliselt.

Oletame, et tahame teada, kas funktsiooni ƒ(x) piirväärtus kohal x₀ on a. Tõmbame nagu jadadegi puhul väärtuse a ümber alt ja ülevalt tõkestavate sirgjoonte paari.  Kui nüüd olenemata valitud sirgjoontest võime alati leida argumendi x₀ ümber vahemiku, mille jaoks ƒ(x) graafik jääb nende sirgjoonte vahele, siis ongi ƒ(x) piirväärtus kohal x₀ võrdne a-ga.

Näiteks eelmise funktsiooni

piirväärtus kohal lõpmatus on null ehk

sest me saame nulli ümber tõmmata kaks horisontaalset sirget ning võime kindlad olla, et piisavalt suure sisendi korral jääb funktsiooni väärtus kindlasti nende joonte vahele.

Muuseas, on võibolla natuke üllatav, aga see tingimus jätab vabaks ka järgmise võimaluse: funktsioonil leidub küll mingil kohal kindel väärtus, aga piirväärtust seal pole. Näiteks võib vaadata funktsiooni, mis võtab väärtuseks miinus ühe, kui sisendarv on negatiivne; pluss ühe, kui sisendarv on positiivne, ning nulli, kui sisendarv on null. Mis peaks olema selle funktsiooni piirväärtus kohal null?

Piirväärtuse tähtsus matemaatikas

Funktsiooni piirväärtus võib esmapilgul tunduda ehk tühi-tähi, justkui ainult mingi augutäide. Üllatavalt on tema roll funktsioonide uurimisel väga märkimisväärne. Miks?

Esiteks aitab piirväärtus rangelt kirja panna matemaatilisi mõisteid, mis räägivad „lõpmatult väikesest“. Näiteks on piirväärtuste abil defineeritud tuletis – funktsiooni muutumise hetkekiirus. Võime mõelda, et tegemist on keskmise kiirusega lõpmatult väikese ajavahemiku jooksul.

Samamoodi on piirväärtuste abil defineeritud integraal [lk 340], millest võime mõelda kui kõverkujundi pindalast ja mille võime arvutada lõpmatult väikeste ristkülikute pindalade kokkuliitmisel.

Põnevust lisab ka see, et saame piirväärtuse abil defineerida ka näiteks arvud e ja π ning veel teisigi põnevaid arve [lk 96]. Muuseas, π defineerimisel on seejuures piirprotsess oma olemuselt geomeetriline: vaatame, kuidas korrapärased hulknurgad järjest enam ringjoonega sarnanema hakkavad. Tegelikult osutuvadki oluliseks mitte ainult arvulised, vaid ka geomeetrilised piirprotsessid.

 

Õigupoolest võib ka reaalarvude hulga kokku panna ratsionaalarvudest ja hästi valitud piirväärtustest: näiteks arvu π koondub jada 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415 …, kus võtame lihtsalt appi järjest rohkem π komakohti.

Piirväärtusi kasutades saame lisaks irratsionaalarvude leidmisele nendega ka tehteid tegema hakata. Nimelt selgub, et kui piirväärtused eksisteerivad ja on lõpliku suurusega, saab neid väga kenasti liita ja korrutada.

Näiteks kui soovime leida funktsioonide x² ja x summa x² piirväärtust kohal 2, siis võime

• esmalt leida piirväärtuse funktsioonile x² kohal 2 – vastuseks 4,
• seejärel piirväärtuse funktsioonile x kohal 2 – vastuseks 2,
• viimaks saadud piirväärtused kokku liita – lõppvastuseks 6.

Matemaatiliselt  kirjutaksime:

Selle reegli kasutamisel peab siiski ettevaatlik olema: tuleb alati kontrollida, et mõlema liidetava piirväärtused üksipäini eksisteerivad. Samasugune reegel kehtib ka korrutamise jaoks, kusjuures peab olema samavõrra ettevaatlik.

Piirväärtuse kõige suurem sõber on aga pidevuse mõiste.

Funktsiooni pidevus

 

Intuitiivselt on funktsioon pidev siis, kui võime tema graafiku joonistada pliiatsit paberilt tõstmata. Aga kas saaksime ka kuidagi graafikut joonistamata teada, kas funktsioon on pidev?

Selle jaoks peame üritame aru saada, mida ikkagi tähendab, et me ei pea pliiatsit paberilt tõstma.

Oletame, et oleme joonistanud juba funktsiooni piirkonnas näiteks nullist peaaegu kolmeni ja tahame nüüd graafikut edasi päris argumendi kolm väärtuseni välja tõmmata. Selle jaoks, et saaksime kolmele vastava punkti joonistatud pliiatsit paberilt tõstmata, peame tema väärtusele olema pliiatsi otsaga jõudnud juba väga lähedale, võiks isegi öelda „lõpmatult lähedale”.

Vahele ei või jääda kõige miniatuursematki auku – muidu peaksime pliiatsiga ju teatava hüppe tegema:

Toodud kirjelduses võib ära tunda jälle idee koondumisest – uurime, kuidas funktsiooni väärtused muutuvad, kui jõuame argumendile 3 järjest lähemale. Ja tõepoolest, funktsiooni pidevust saab rangelt kirja panna just piirväärtuste abil.

Funktsiooni pidevusest räägitakse alguses lokaalselt, ühe valitud punkti ümbruses. Funktsiooni nimetatakse mingil kohal pidevaks, kui selles punktis eksisteerib funktsioonil piirväärtus ning see piirväärtus on sama, mis funktsiooni enda väärtus.

Mõned sõnad võime matemaatilisemaks ja kompaktsemaks esitamiseks asendada ka sümbolitega.

Funktsioon ƒ(x) on pidev kohal a, kui leidub piirväärtus

ning ta on võrdne funktsiooni väärtusega kohal ƒ(a).

Näiteks ƒ(x) = x² on pidev kohal 2, sest

ning samas

Muidugi ei ole see kellelegi uudiseks, sest teame, et ruutfunktsiooni graafikut võib joonistada ühe kiire pliiatsitõmbega, isegi märkamata, kuidas kohast 2 möödume.

Ruutfunktsioon on pidev kogu reaalteljel ning üldisemalt nimetatakse selliseid funktsioone, mis on pidevad kõikides oma määramispiirkonna punktides, pidevateks funktsioonideks.

Kõik eelmises peatükis nähtud funktsioonid – eksponentsiaalfunktsioon, logaritm ja polünoomid – on pidevad. Samuti on pidevad trigonomeetrilised funktsioonid. Võib küll mõelda, et tangensfunktsioon teeb ju kummalise hüppe, aga see hüpe ei kuulu tema määramispiirkonda.

Võib mõelda, et pidevus lisab funktsioonidele teataval määral regulaarsust, korrapära ja muudab neid seega lihtsamaks: nimelt ei saa pidev funktsioon hüppeid teha, funktsiooni väärtust igal kohal on võimalik ennustada teda ümbritsevate väärtuste abil.

Siiski võib ka pidev funktsioon välja näha väga hüplik ja näiteks leidub pidevaid funktsioone, millel ei leidu üheski kohas tuletist [lk 320] – neile ei saa üheski punktis tõmmata puutujajoont! See avastati alles 19. sajandi lõpus ning nii mõnigi tähtis matemaatik nimetas selliseid funktsioone peletisteks.

 

Pidevuse trikk: funktsioonist ratsionaalarvude funktsioonini reaalarvudel*

 

Pidevast funktsioonist võime rääkida ka ratsionaalarvuliste funktsioonide korral: sel juhul on lihtsalt kõik piirprotsessid defineeritud ainult ratsionaalarvude hulgal.

Näiteks arvude puhul defineerisime arvu astme ainult ratsionaalarvuliste astendajate korral ja tulemuseks oli pidev funktsioon ratsionaalarvudel [lk 110].

Üldiselt on pideva ratsionaalarvulise funktsiooni laiendamiseks reaalarvudele väga palju võimalusi. Võime ju iga lubatud irratsionaalarvu jaoks valida mingi suvalise funktsiooni väärtuse.

Näiteks oleks täiesti lubatud funktsioon, mis igale ratsionaalarvule seab vastuseks iseenda ning igale irratsionaalarvule hoopis nulli. See poleks küll eriti kena masin, aga igati lubatud.

Samas kui nõuame, et ka saadud reaalfunktsioonil säiliks pidevus, on laienduseks täpselt üks võimalus: kõik augud tuleb täita funktsiooni piirväärtuste abil.

See trikk võimaldabki meil tihti alustada ühe funktsiooni defineerimist ratsionaalarvudel ning alles lõpus pidevuse abil reaalarvudele üle minna. Näiteks saime täpselt selle triki abil laiendada astendamise ilusaks pidevaks eksponentsiaalfunktsiooniks [lk 280]. Täpselt sama meetod aitab meid veel ka näiteks ristküliku pindalade defineerimisel tükeldamise meetodil [lk 362].