Geomeetriline jada

Kui võtta malelaud (8 × 8 ruutu) ning asetada esimesele ruudule üks riisitera, teisele juba kaks riisitera ja igale järgnevale ruudule kaks korda rohkem riisiterasid kui eelnevale, siis mitu tera on lõpuks malelaual kokku?

Legendi kohaselt tutvustas male leiutaja oma uut mängu kohalikule valitsejale. Valitseja oli uue mänguga väga rahul ning lubas leiutajal endale valida ka väärilise tasu. Mees, kellel tarkust puudu ei tulnud, sõnas kuningale: „Auväärt kuningas, ma paluksin endale niipalju riisiterasid, kui on kokku malelaual asetades esimesele maleruudule ühe, teisele kaks, kolmandale neli ning igale järgnevale veel kaks korda enam riisiteri.” Valitseja, kes polnud matemaatika ega matemaatiliste veidrustega sina peal, nõustus kiirelt ettepanekuga, pidades seda vahest isegi solvavalt vähenõudlikuks. Niisiis käskiski ta varahoidjal riisiterade hulga välja arvutada ning leiutajale üle anda. Varahoidjal läks aga terve nädal lubatud riisikoguse leidmiseks. Kui valitseja päris viivituse põhjust, siis varahoidja näitas talle arvutuse lõpptulemust ning selgitas, et sellist tasu ei suudaks kuningas ka oma elu jooksul välja käia. Nüüd oli valitsejale selge, mis leiutajaga pihta hakata: ta lasi nutika mehe nutika pea maha lüüa, et seeläbi igasugustele ülekavaldajatele koht kätte näidata.

Terade arv malelaua ruutudel on järgnev:

Mis on selle jada 64. liige?

Mis on jada 64 esimese liikme summa?

 

Kui aritmeetilises jadas leitakse iga järgmine liige, liites eelnevale teatud kindla arvu, siis praegu leiame iga järgmise jadaliikme, korrutades eelmist liiget mõne kindla arvuga – meie konkreetsel juhul on selleks arvuks kaks. Selliseid jadasid nimetatakse geomeetrilisteks jadadeks ning arvu, millega iga järgnevat läbi korrutatakse, jada teguriks.

Kui tähistame jada kordajat q-ga ning jada liikmeid nagu ikka tähistusega a_n, saame analoogiliselt aritmeetilise jada juhuga a₂ = a₁ · q, seejärel a₃ = a₂· q = a₁ · q · q, … ning üldisel kujul

Nii võime ka välja arvutada, et malelaua viimasel ruudul peab olema a₆₄ = 1 · 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 riisitera, mis on umbes 200 miljardit tonni riisi.

Geomeetrilise jada summa valem

Geomeetrilise jada summa valemi leidmiseks on taas kord vaja vaid ühte tähelepanekut ja head kannatust sümbolitemölluga.

Meenutame, et korrutades suvalise jada liikme a_iarvuga q, saame jada järgmise liikme a_i+1. Seega on jada esimese liikme  n summa a₁ + a₂ + … + a_nainult q korda erinev summast a₂ + … + a_n+1, mis on sama jada n liikme summa alates teisest liikmest.

Kuna need jadad erinevad aga ainult kahes liikmes – esimeses neist esineb a₁ ja ei esine a_n+1 ning teises esineb a_n+1, aga ei esine a₁ –, siis on nende jadade summade vahe täpselt võrdne a₁ – a_n+1-ga.

Seega tähistades geomeetrilise jada esimese n liikme summat jällegi S_n abil, võime eelneva arutluse kirja panna kompaktsemalt nii:

Jagades mõlemad pooled läbi q–1-ga, jõuame valemini

mis kasutades jada üldliikme valemit annab tulemuseks

Hääbuv geomeetriline jada

Kui geomeetrilise jada tegur on absoluutväärtuselt väiksem kui üks, nimetatakse saadud jada hääbuvaks geomeetriliseks jadaks.

Näiteks jada ¹⁄₂; ¹⁄₄; ¹⁄₈; ¹⁄₁₆ … on hääbuv jada teguriga ¹⁄₂. Mis on sellise jada kõikide liikmete summa?

Kuna kokku on sellises jadas liikmeid lõpmata palju, võiks ju arvata, et seda summat ei annagi hästi arvutada – ta võiks ju ka olla lõpmatult suur, nii suur, et teda ühe arvuga väljendada ei saagi. Selgub siiski, et tegemist on alati lõpliku ning tihti isegi mitte väga suure arvuga.

Selle probleemiga on tihedalt seotud ka vanakreeka filosoofi Zenoni paradoks, mis väidab järgmist: kui aeglasemale startijale on antud võidujooksus edumaa, siis ei saa kiirem jooksja kunagi aeglasemast jooksjast ette jõuda. Nimelt enne, kui kiirem jooksja aeglasest möödub, peab ta esiteks jõudma punkti, kust aeglasem alustas. Selleks hetkeks on aga aeglasem jooksja juba edasi, järgmisesse punkti jõudnud. Nüüd peab kiirem jooksja enne möödumist hoopis sellesse punkti jõudma. Ja jälle on aeglasem edasi jõudnud. Nii võime lõpmatult jätkata, kuna iga kord, kui kiirem jooksja jõuab aeglasema eelmisesse punkti, on too sealt juba lahkunud.

Ometigi teame, et kiiremad jooksjad mööduvad aeglastest – sellest siis ka põhjus, miks seda arutlust paradoksiks kutsutakse. Võib-olla suudate pärast selle peatüki läbitöötamist näha, miks see „intuitiivne” argument siiski päris hästi paika ei pea.

Pirukad ja hääbuva geomeetrilise jada summa

Vaatleme nüüd enne toodud jada ¹⁄₂; ¹⁄₄; ¹⁄₈; ¹⁄₁₆; … pisut lähemalt.

Võime sellest jadast ka muinasjutuliselt mõelda. Oletame, et täpselt kilomeetri kaugusel asub pirukaputka, mille poole hiilib saabasteta kass. Jõudnud poolele teele, on tal läbitud pool kilomeetrit ja läbida jäänud samuti veel pool kilomeetrit. Tähistagu jada esimene liige selle esimese jalutuse pikkust:a₁ = ¹⁄₂ km.

Luuranud hetke, otsustab ta hiilida veel poole jäänud maast – see tähendab pool poolest kilomeetrist ehk veerand kilomeetrit. Tähistame selle jalutuse a₂ = ¹⁄₄km.

Piilunud veel kord ümberringi ja hinganud sügavalt sisse, otsustab kass kõndida veel poole järele jäänud maast – veel poole veerandist kilomeetrist ehk kaheksandiku kilomeetrit. Tähistame selle jalutuse a₃= ¹⁄₈ km.

Nii ongi iga edasiliikumine vastavuses ühe jada liikmega ja jada summa on vastavuses kokku läbitud distantsiga. Aga pirukaputkani oli alguses täpselt üks kilomeeter ja seega, kuna kass putkast kaugemale kindlasti ei jõua, ei saa ka jada summa olla suurem kui üks. Tegelikult on see summa täpselt üks, sest pirukaputkani jääv maa muutub nii olematuks, et saabasteta kass paneb tingimata mõne piruka ka nahka.

Seda, et jada summa on lõplik, võib muidugi selgitada ka kasutades eelnevas tärniga osas leitud jada liikmete summa valemit:

Nüüd kui q < 1, siis on see valem igati lõpliku väärtusega ning lisaks kahaneb qⁿ astendaja nkasvades järjest väiksemaks ning läheneb kiiresti nullile.

 

Nii võime tegelikult näha, et kõikide liikmete summa läheneb arvule

Täpsemalt on S jada S_n piirväärtus [lk 310].

Jada ¹⁄₂; ¹⁄₄; ¹⁄₈; ¹⁄₁₆ jaoks on a₁ = ¹⁄₂ ja q = ¹⁄₂ning seega on tõesti selle jada summa täpselt 1.

Nimetus

Aritmeetilise jada nime põhjendasime osati hüüdlausega „Aritmeetilise jadaga saab teha aritmeetikat!“. Oleks ju väga tore, kui geomeetrilise jadaga saaks teha geomeetriat… ja mingis mõttes saabki! Nimelt võib mõelda, et alustame ühest teatava pikkusega lõigust ja kõik edasised liikmed lihtsalt suurendavad seda teataval määral. Seega on geomeetriline jada seotud ühe lihtsaima geomeetrilise teisenduse – skaleerimise ehk suurendamise ja vähendamisega.

Kuigi lihtne mõte, võib see vaateviis siiski osutuda kasulikuks. Näiteks pirukapoe külastuse juures illustreerisimegi jada a_n = ¹⁄₂ⁿ summa lõplikkust ka geomeetriliselt.

Muidugi on lisaks sellele ka geomeetriline jada seotud geomeetrilise keskmisega – jällegi on kolmest järjestikusest liikmest keskmine äärmiste geomeetriliseks keskmiseks [lk 198].

Mõned teised põnevad jadad

 

Nagu juba sissejuhatusest näha, leidub ka teisi põnevaid jadasid, mille omaduste kallal on matemaatikud palju pead murdnud. Toome neist mõned matemaatikutele meelepärased näited.

 

Algarvude jada

 

Meenutame, et algarvudeks kutsutakse arve, mis jaguvad ainult iseenda ja ühega. Esimeses osas näitasime, et algarvusid on lõpmatult palju [lk 46]. Algarvude jada algab nii:

Algarvudega on endiselt seotud palju veel lahendamata küsimusi. Näiteks ei ole teada, kas leidub lõpmatult palju kaksikalgarve – algarvude paare, mis erinevad teineteisest kahe võrra. Sellisteks paarideks oleks näiteks (3; 5) või (197; 199). Suurimal leitud paaril on tänaseks kümnendesituses 200700 numbrit!

Huvitav hiljuti tõestamist leidnud teoreem väidab, et algarvude jadade sees võib leida soovitud pikkusega aritmeetilisi jadasid. Teisisõnu, on võimalik leida nii 10, 1000 kui 20 350 liikmega aritmeetiline jada, mille kõik liikmed on algarvud. Proovige kasvõi leida 4 liikmega aritmeetiline jada, mille liikmed on algarvud!

 

Algarvude pöördarvude jada

 

Huvitavaks osutub ka algarvude pöördarvude jada

Selle jada muudab huvitavaks tema liikmete summa ääretult aeglane, kuid visa suurenemine. Ükskõik mis arvu jaoks võime alati leida teise arvu n, nii et algarvude pöördarvude jada n esimese jada liikme summa oleks mõeldud arvust suurem.

Samas aga suureneb see jada nii aeglaselt, et näiteks kui soovime, et esimese n liikme summa oleks kokku 7, peab selleks summeerima ligikaudu 10^{10 000 000} jada liiget!

See jada on ka ilus näide sellest, kuidas arvutitega tehtavad katsed võiksid meid eksiteele viia. Algarvude pöördarvude jada kasvab nii aeglaselt ning iga arvutiga tehtud eksperiment veenaks meid, et jada summa ei saa kuidagi olla lõpmatult suur.

Ometigi on matemaatiliselt võimalik näidata, et jada summa on lõpmatult suur.

 

Naturaalarvude pöördarvude ruutude jada

 

Selle jada kõikide liikmete kokkuliitmine annab jälle ühe üsnagi üllatava seose:

Kas oskate leida mõne põhjuse, miks naturaalarvude pöördarvude ruutude summa peaks olema seotud ringi pindalast tuntud arvuga π?

Selle huvitava seose leidis üks läbi aegade suurimaid matemaatikuid Leonhard Euler 1735. aastal.

Huvitaval kombel ei rahuldanud tema tõestus teisi tolleaegseid matemaatikuid ning läks veel kuus aastat pärast avastust, enne kui ta suutis ka teisi selle seose tõesuses veenda.

 

Fibonacci jada

 

Fibonacci jada iga järgnev liige tekib kahe eelneva liikme liitmisel. Jada alustamiseks tuleb meil seega lihtsalt määrata kaks esimest liiget

Kõik järgnevad liikmed saame seejärel lihtsalt välja arvutada.

Näiteks

ja nii edasi. Üldkujus võiksime kirjutada Fibonacci jada liikmeid siduva võrrandi

Fibonacci arvud tulevad esile erinevates ja üllatavates kohtades. Üks lihtsam ülesanne, mille lahendavad Fibonacci arvud, on järgmine:

Kui mitu erinevat võimalust on n astmega trepist ülesronimiseks, hüpates korraga alati kas ühe või kaks astet edasi? Näiteks kolmeastmelisest trepist on võimalik üles minna kolme moodi: 1 + 1 + 1, 1 + 2 või 2 + 1, neljaastmiselisest viit moodi jne.

Üllatavalt palju rakendatakse Fibonacci arve viimasel ajal informaatikas: nende abil üritatakse tekitada juhuslikke arve, leida uusi otsingualgoritme ning luua isegi andmestruktuure. Kahtlustatakse, et Fibonacci jada on kasutatud ka muusika komponeerimiseks ning hoolikas loodusvaatleja leiab Fibonacci jadaga seotud spiraale ja mustreid ka kosutaval matkal.

Lisaks selgub, et Fibonacci järjestikuste liikmete suhe läheneb ühele kindlale arvule. Veelgi enam, see arv pole mingi suvaline arv, vaid niinimetatud kuldlõike suhtarv

Kuldlõike suhtarv on leidnud läbi ajaloo palju austust ja lugupidamist. Tema nimetus tuleb sellest, et ta peaks olema aluseks ilusaimatele proportsioonidele. Näiteks arvatakse, et just kuldlõige annab ristküliku jaoks kõige ilusama pikkuse ja laiuse proportsiooni. Seetõttu on nii mõnigi autor otsustanud ka oma raamatu välja anda just nendes proprotsioonides.

Siinkohal lõpetame veel tänaseks lahendamata matemaatilise küsimusega. Kas eksisteerib lõpmata palju Fibonacci arve, mis on algarvud (esimesed sellised arvud: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597)? Arvatakse, et vastuseks on jah, aga seda tõestada ei osata. Huvitav, mis selles nii rasket on?

 

Väike mõistatus neile, kellel on aega ja agarust ülearu:

 

Antud on ühe jada algus:

Mis on jada järgmine liige?