Arvu aste

Arvu astmele on hea hiilides läheneda läbi analoogia korrutamisega. Mida tähendab korrutamine? Kirjutame välja kaks näidet:

3 · 3 = 3 + 3 + 3

Sulle võivad huvi pakkuda need õppematerjalid:

5 · 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5

Seega vähemalt neil lihtsatel juhtudel pole korrutamine küll mitte midagi uhkemat kui üksluine korduv liitmine.

Mis aga juhtuks, kui vahetame „+” märgi „ ·” märgi vastu? Saame tehted

3 · 3 · 3 · 3

5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

ning seega… üksluise korduva korrutamise.

Seda üksluist korduvat korrutamist nimetataksegi astendamiseks. Et lahti saada ka kirjutamisvaevast, tähistame

ja ütleme, et võtame arvu 3 astmesse 4 ning arvu 5 astmesse 6. Nelja ja kuut kutsutakse sellises olukorras astendajateks ning kolme ja viit astendatavaks ehk astme aluseks.

Kas see ongi kõik?

Muidugi mitte, võib tekkida mitmeid küsimusi.

1. Kas astendamisel on vastupidine tehe, nagu näiteks liitmisel on lahutamine?

2. Mis juhtuks, kui astendada komakohti sisaldavate arvudega nagu 0,5 või ¹⁄₃?

3. Kas saame astendada ka negatiivse arvu või nulliga?

Neile küsimustele üritamegi järgemööda läheneda. Kuna küsimusi on palju ning nende peale mõtlemine näitab päris hästi matemaatika arengut, siis jagub seletusi mitmetele lehtedele: head lugemist!

Juurimine kui astendamise vastandtehe

Nagu korrutamise vastandtehteks on jagamine, on astendamise vastandtehteks juurimine.

Tõepoolest, arvu 12 jagamisest kolmega võime mõelda kui küsimusest: millist arvu on vaja kokku liita täpselt kolm tükki, et saada vastuseks 12?

Muidugi on vastuseks 4, sest 4 + 4 + 4 = 12.

Kui võtame arvust 81 neljanda juure, on analoogseks küsimuseks: millist arvu on vaja kokku korrutada täpselt neli tükki, et saada vastuseks 81?

Vastus on 3, sest 3 · 3 · 3 · 3 = 81.

Juurimist tähistatakse mitmes erinevas kujus. Näiteks neljandat juurt 81-st võib tähistada kahel viisil järgmiselt:

81 ning 81^¼

Kuigi puhtalt peale vaadates võivad need kaks tähistust tekitada väga erinevaid emotsioone, on vastuseks mõlemal juhul muidugi 3.

Teine tähistus on ehk informatiivsem, sest ta vihjab ka järgnevale analoogiale korrutamisega: nii nagu jagamisest kolmega saame mõelda kui korrutamisest arvuga ¹⁄₃, samuti võime ka neljanda juure võtmisest mõelda kui astendamisest astendajaga ¹⁄₄.

Juurimise korral tuleb olla ka ettevaatlik: nagu juba arvude peatükis nägime, ei leidu ühtegi reaalarvu, mis annaks endaga korrutades tulemuseks mõne negatiivse reaalarvu nagu –1 või –4 või –100. Seega ei ole võimalik negatiivsetest arvudest reaalarvulist ruutjuurt ega ühtegi teist paarisarvulist juurt võtta.

Kui kasutusele võtta kompleksarvud [lk 89], siis enam sellist muret ei ole – võib kõike rahu ja rõõmuga juurida.

Natukene ajalugu

Matemaatilises mõttes juurimisega tegeleti juba 3700 aastat tagasi Babüloonias. Vana-Kreekas muutus aga olukord matemaatikute jaoks eluohtlikuks.

Nimelt nagu juba irratsionaalarvude juures [lk 87] mainisime, avastasid Pythagorase järeltulijad, et ühikruudu diagonaali pole võimalik kirja panna täisarvude suhtena, ehk teisisõnu √2 ei ole ratsionaalarv, vaid irratsionaalarv.

Ega keegi päris täpselt ei tea, kuidas kõik just juhtus, aga räägitakse, et esimesena märkas ruudu diagonaali irratsionaalsust keegi härra Hippasus Metapontu. Ühe legendi järgi olevat see leid olnud lausa Kreeka riiklik saladus ning kui vaese Hippasuse arutelu enam teisiti ümber lükata ei osatud, uputati ta merre.

Meie tänapäevase sümboli √ leiutas 1525. aastal Christoph Rudolff, kes on ka + ja – märkide autor. Kas oskad näha mõnd head põhjust, miks kasutusele on võetud just sellised märgid ja mitte teistsugused?

Ratsionaalarvuline astendaja

Ratsionaalarvulise astendajaga tutvumiseks on hea alustada jälle analoogiast korrutamisega ja mõelda, mida tähendab ratsionaalarvudega korrutamine. Oluline on meelde tuletada, et korrutamisel pole tehete järjekord oluline.

Näiteks korrutades arvu 12 arvuga ¾, teame, et võime seda teha mitmel viisil. Võime esmalt jagada 12 arvuga 4 ning seejärel korrutada arvuga 3:

või korrutada 12 arvuga 3 ja seejärel alles jagada arvuga 4:

Seega võimegi ratsionaalarvudega korrutamisest mõelda kui lihtsalt järjestikusest täisarvudega korrutamisest ja jagamisest.Täpselt samamoodi võime lahti mõtestada ka ratsionaalarvuga astendamise – tegemist on järjestikuse täisarvuga astendamise ja juurimisega. Ka sel korral pole astendamise ja juurimise järjekord oluline.Näiteks tehtest 81^¾ võime mõelda järgmiselt.Esiteks pärime arvu 81 neljanda juure ning seejärel võtame saadava arvu kolmandasse astmesse:

või võtame kõigepealt arvu 81 astmesse kolm ning seejärel alles küsime, mis on selle suure arvu neljas juur:

Vastus tuleb muidugi sama, aga esimesel juhul on tema leidmine (vähemalt peast arvutades) palju lihtsam – eks katsuge võtta arvu 81 astmesse 3.

Muidugi on parem, kui sellist pikka ja tüütut mõttekäiku iga kord pikalt läbi ei pea tegema, aga see muutub automaatseks päris kiiresti – vaja on ainult pisut arvutada ja harjutada.

Negatiivne astendaja

Üritame järgmiseks mõelda, kas ka negatiivne astendaja annab midagi mõistlikku. Ehk teisisõnu, mida võiks tähendada näiteks 4^–3? Kuidas sellest mõelda?

Tegelikult ei ole siingi midagi keerulist: kui positiivne astendaja tähendas korduvat korrutamist, siis negatiivne astendaja tähendab mingis mõttes korduvat jagamist.

Näiteks

Ehk teisisõnu võtame kolmandasse astmesse arvu 4 pöördarvu, milleks on ¼.

Märgates nüüd, et pöördarvust võime mõelda kui arvust astmel –1, ning tuletades meelde, et asendamisel tehete järjekord ei loe, võime lihtsalt ka mõelda, et 4^–3 ei ole midagi muud kui lihtsalt arvu 4³pöördarv.

Astendaja null

Nullist erinevast astmest mõtleme kui korduvast korrutamisest või korduvast jagamisest. Mida tähendab aga astendaja null? Astendaja null võiks siis tähendada, et me ei võtagi ühtegi arvu, mida omavahel kokku korrutada või jagada. Mis võiks olla sellise tühja tehte väärtus?Üks viis on mõelda, et astmesse null võtmine peaks olema väga sarnane mingi väga väikese astendaja kasutamisega: näiteks arvu

kasutamisega. Ratsionaalarvuliste astendajatega aga oskame juba ringi käia ning võime leida, et näiteks

Kahtlaselt lähedal arvule 1, kas pole?

Tuleb välja, et ükskõik, mis arvu me võtame astmesse 0, saame vastuseks 1. Selle taga on muidugi ka kena matemaatiline põhjendus, millest võite lugeda lisapeatükist [lk 117].

Irratsionaalarvuline aste

Irratsionaalarvuliste astendajate jaoks ei ole senisest intuitsioonist suurt kasu – näiteks on päris raske vastata küsimusele, mitu korda ma pean korrutama arvu 2, et saada arv 2^π või arv e^e.

Siiski on neistki võimalik rangelt ja täpselt mõtelda, tuleb lihtsalt muuta oma vaatenurka. Sellest võib täpsemalt juba lugeda eksponentsiaalfunktsiooni peatükist [lk 280]. Teatud mõttes on tegemist täpselt samasuguse aukude täitmisega nagu ratsionaalarvudelt reaalarvudele üle minnes – seekord ei ole augud ainult arvteljel, vaid on eksponentsiaalfunktsiooni graafikul. Oluline on märgata, et seda saab teha ainult positiivsete aluste korral – negatiivsete aluste korral jäime juba ratsionaalarvuliste astmetega hätta, rääkimata siis irratsionaalarvulistest astmetest.

Praktikas võime irratsionaalarvuliste astmetega käituda samamoodi nagu astme null korral – otsime lihtsalt mõne ratsionaalarvulise astendaja, mis on meie irratsionaalarvule piisavalt lähedal. Täpselt nii käituvad ka arvutid – irratsionaalarve nad nagunii salvestada ei oska.

Efektiivne astendamine

Naturaalarvuliste astmete võtmine on üpriski igapäevane tegevus (kui mitte isiklikult Sulle, siis kindlasti mõningatele teadlastele ja ka arvutitele).

Näiteks 3³ arvutamiseks on vaja 2 korrutamistehet 3 · 3 = 9 ning 9 · 3 = 27.

Mitme tehtega saaks aga arvutada 3¹⁰⁰? Kas tõesti läheb selleks 99 tehet või on võimalik leida mõni kiirem viis?

Selgub, et on olemas ka kiirem viis. Selle kiirema viisi tabamiseks tuleb märgata, et järjest arve ruutu tõstes jõuame päris kiiresti kõrgete astmeteni:

Nüüd on idee kirjutada 100 selliste astmete summadena, mida võime ruutuvõtmise abil leida: 100 = 64 + 32 + 4 ja seega saamegi välja arvutada 3¹⁰⁰:

Kokku lugedes näeme, et vajasime ainult 8 korrutustehet 99 asemel.

Hoolas lugeja märkab, et astendajad, mille astmeid oskame kiiresti välja arvutada, on kõik kujus 2^m.

Teisisõnu peame kiire astendamise jaoks kirjutama lihtsalt astendaja tema kahendesituses: näiteks 100 = 2⁶ + 2⁵ + 2². Kahendesitusest rääkisime pisut pikemalt arvuhulkade juures [lk 80].

Arvude standardkuju

Päikese mass on umbes 1989000000000000000000000000000000 kg ning elektroni mass on umbes 0,0000000000000000000000000000009109 kg.

Neid arve on suhteliselt keeruline lugeda ning veel hullem, kui peaks näiteks arvutama, mitu korda on Päikese mass suurem kui elektroni mass. Kuna peame tihti tegelema väga suurte ja väga väikeste arvudega, siis on lihtsam väga suuri ja väga väikseid arve esitada standardkujus: a · 10ⁿ, kus a on mingi arv ühe ja kümne vahel. Kümne astendaja n näitab selles kujus arvu suurusjärku.

Näiteks Päikese mass on standardkujus 1,989 · 10³⁰kg ning elektroni mass on 9,109 · 10^–31 kg. Nüüd on ka tunduvalt kergem leida, mitu korda on Päike raskem kui elektron:

ehk ligi 60 suurusjärku!

Astendaja null põhjendus nohikutele*

Üritame järgnevalt ka natuke matemaatiliselt motiveerida, miks kõikide arvude nullis aste peaks ikkagi olema ühega võrdne.

Mõtleme korra uuesti korrutamisest – tuletame meelde, et mistahes arvu nulliga korrutamine annab vastuseks nulli. Sellest, miks nulliga korrutamine peaks nulli andma, võib mõelda mitmel moel.

Üks viis on öelda, et meile meeldiks, kui korrutamine ja liitmine saaksid omavahel hästi läbi. Tahaksime, et võiksime näiteks kenasti sulge avada ja kirjutada:

Seda korrutamise ja liitmise kokkusobimist nimetatakse ka uhkelt korrutamise ja jagamise distributiivsuseks. Tegelikult kasutate seda igapäevaselt, näiteks 7 · 5 + 3 · 5 = 10 · 5 = 50.

Kui nüüd võtaksime aga arvu x võrdseks nulliga ja arvu y näiteks kahega, saaksime, et

Nüüd on mõlemal poolel liige 2 · z ja seega peab parema poole üleliigne liige 0 · z olema võrdne nulliga. Arvu kaks valisime aga täiesti suvaliselt, seega tõesti nulliga korrutamisel peaks iga arv andma tulemuseks nulli.

Millist ilusat omadust tahaksime astendamiselt? Me tahaksime, et ta saaks korrutamisega hästi läbi. Kui korrutame sama arvu läbi esmalt n korda ja seejärelm korda, peab tulemus olema võrdne arvuga, mille saame siis, kui korrutame arve kohe kokku m + nkorda ehk teisisõnu tahame, et z^m · zⁿ = z^m+n. Aga kui nüüd võtame m-i võrdseks nulliga ja z-i võrdseks 2-ga, saame 2⁰ · 2ⁿ = 2⁰⁺ⁿ = 2ⁿ.

Seega kuna ainult ühega korrutades saame täpselt sama arvu, peab 2⁰ olema võrdne ühega! Ja muidugi jällegi oleksime võinud ju arvu kaks asemel võtta (peaaegu) ükskõik mida muud – seega astendades suvalist arvu nulliga saame vastuseks ühe.

Null astmel null

Eelnev arutelu pole siiski päris korrektne – end eelmises lõigus sulgudes peitev „peaaegu” käib arvu 0 kohta. Nimelt kui võtaksime eelnevas arutelus arvuz võrdseks nulliga, saaksime tehte 0⁰ · 0ⁿ = 0ⁿ. Kuna aga 0ⁿ on võrdne nulliga vähemalt iga n > 0 jaoks (korrutame ju lihtsalt positiivse koguse nulle kokku), ei saa me sellest tehtest midagi öelda 0⁰ väärtuse kohta.

Selgub, et ajalooliselt ongi 0⁰ matemaatikutele suurt peavalu valmistanud, ühel nõul pole olnud ka päris suured matemaatikud. Ka täna leidub veel kaks vastasleeri: ühed ütlevad, et 0⁰ ei olegi defineeritud, ja teised on veendunud, et see peab olema võrdne ühega. Milles on probleem?

Ühelt poolt peaks 0⁰ olema võrdne arvuga, mille saame, kui avaldises 0^x muudame positiivset arvu xjärjest väiksemaks. Kuna 0ⁿ on iga positiivse n-i jaoks võrdne nulliga, siis peaks ka 0⁰ olema võrdne nulliga.

Teiselt poolt peaks aga 0⁰ olema võrdne ka arvuga, mille saame, kui avaldises x⁰ muudame positiivset arvu x järjest väiksemaks. Eelneva põhjal teame, etx⁰ on võrdne ühega iga nullist erineva x jaoks. Seega peab ka 0⁰ olema võrdne ühega.

Kuna meil on matemaatiliselt 0⁰ defineerimiseks kaks erinevat võimalust, mis omavahel sugugi kokku ei sobi, ei tundu sugugi ülekohtune teda mittedefineeritavaks pidada. Siiski leidub neid, kes arvavad, et meil on piisavalt põhjuseid arvamaks, et 0⁰ = 1.

Kusjuures kõik on vähemalt selles päri, et kui üldse 0⁰ arvuna defineerida, siis peaks tema väärtuseks saama justnimelt 1 ja mitte näiteks 0 või hoopis mõni muu arv.

Esiteks, nagu juba mainisime, tahaksime kinni hoida juba meile tuntud tehetest ja valemitest. Kui valiksime ükskõik millise teise väärtuse, siis võiksime leida mõne valemi – nagu näiteks ennist kasutatuda^(m+n) = a^m · aⁿ –, mis enam selle valiku korral kahjuks ei kehtiks. Kui võtame juba selles samas valemis a = 0, m = 0, n = 0, näeme, et 0⁰ · 0⁰ = 0⁰ . Seega, kui otsustame defineerida arvu 0⁰, peab selle arvu ruut olema tema endaga võrdne. Ehk ta ei tohiks olla ükski teine arv peale arvude 1 ja 0, mida kohtasime võimalike variantidena juba eelnevas arutelus.

Valides aga järgnevalt valemiks

mis kehtib alati kui a > 0, näeme, et 0⁰ väärtuseks ei tahaks hästi sobida isegi arv 0. Muidu oleks ju üks valemi pool 0, ent teisel pool üritaksime jagada nulliga, ja see meile muidugi ei meeldi. Seega, kui 0⁰on arv, siis olgu ta arv 1.

Lisaks toetab kokkulepet 0⁰ = 1 pisut ka tõlgenduslik pool. Näiteks meiegi mõtlesime astendajast 0 kui tühjast tehtest ja sel juhul ei tohiks ju vahet olla, mis astme aluseks on – tühi tehe jääb alati tühjaks tehteks ning peaks olema ka sama väärtusega. Kõik teised arvud astmel 0 on aga võrdsed ju täpselt 1-ga.

Kokkuvõttes, ega ei teagi, kuidas on parem – kas jätta segaduse vältimiseks 0⁰ defineerimata või talle siiski anda mugavuse tõttu väärtus 1?

Arvu absoluutväärtus